O que é 'Equação'?
Uma equação tem o aspecto seguinte:
3x - 4 = 7 + 2x
E o nosso principal objectivo é resolver a equação de modo a encontrar o valor do ‘x’(desconhecido nesta fase inicial) e que vai tornar a fórmula correcta.
Vai aprender mais tarde que a resposta correcta para este caso é:
x = 11
Se substituirmos ‘x’ por 11 na equação acima, teremos
3 vezes 11 menos 4 = 7 mais 2 vezes 11
(lado esquerdo da equação) (lado direito da equação)
O que é o mesmo que 29 = 29. Que é uma frase verdadeira
Vamos começar pelo início.
Observando a equação, não sabemos o valor do ‘x’ mas sabemos uma coisa
muito importante:
O lado ESQUERDO é IGUAL ao lado DIREITO, e temos que acreditar neste
facto para podermos prosseguir com a nossa resolução.
Agora chegamos à primeira confusão sobre equações: Ambos os lados são
iguais “no valor” apenas, e não no aspecto que têm no ecrã ou no papel.
Isto é o mesmo que afirmar:
3 + 2 = 5
este lado é igual a este
Que é muito fácil de acreditar porque nós sabemos que 2 mais 3 dá 5, mesmo que 2 + 3 se escreva de maneira diferente que o número 5.
O sinal ‘=’ diz-nos que ambos os lados são iguais em valor e não em
aparência.
Resumindo, quando tivermos que resolver uma equação, começamos por
acreditar que o sinal de igual está a dizer-nos uma verdade absoluta: os
dois lados são iguais em valor.
A palavra ‘equação’ vem da palavra ‘igual’.
O objetivo principal é ter o 'x' isolado. Como se faz isso é o que vamos explicar agora:
Bem, se o número 3 está a multiplicar por x … nós simplesmente dividimos por
3 para ficarmos com 3x/3.
Como 3 a dividir por 3 é igual a 1, nós ficamos apenas com 'x'.
O ‘x’ está a ser somado de 7 unidades, logo fazemos exactamente o oposto: subtraímos 7 unidades: x + 7- 7
Porque 7 – 7 é igual a zero, ambos os setes desaparecem. O ‘x’ está de novo isolado.
O que fizemos em todos os 2 casos foi simplesmente usar a operação inversa com os mesmos números que estavam perto da incógnita ‘x’.
Neste momento, já estamos habilitados a resolver a equação abaixo.
3x - 4 = 7 + 2x
‘Resolver’ quer dizer que temos que efectuar operações até encontrarmos o valor para o ‘x’ e este deixar de ser desconhecido.
Como já sabemos, o nosso principal objective é chegar a um estado tal em que o ‘x’ está sozinho no lado esquerdo do sinal de igual.
Se tivermos '7x - 14 = 0', multiplicamos os dois lados por 14: '7x - 14 + 14 = 14' fazendo com que a equação fique assim '7x = 14'.
Você fará este processo até o 'x' ficar sozinho de um lado: '7x/7 = 14/7' que resultará em 'x = 2'.
A equação está resolvida !
Se substituirmos o ‘x’ por 2, o resultado em ambos os lados são IGUAIS.
3x - 4 = 7 + 2x
E o nosso principal objectivo é resolver a equação de modo a encontrar o valor do ‘x’(desconhecido nesta fase inicial) e que vai tornar a fórmula correcta.
Vai aprender mais tarde que a resposta correcta para este caso é:
x = 11
Se substituirmos ‘x’ por 11 na equação acima, teremos
3 vezes 11 menos 4 = 7 mais 2 vezes 11
(lado esquerdo da equação) (lado direito da equação)
O que é o mesmo que 29 = 29. Que é uma frase verdadeira
Vamos começar pelo início.
Observando a equação, não sabemos o valor do ‘x’ mas sabemos uma coisa
muito importante:
O lado ESQUERDO é IGUAL ao lado DIREITO, e temos que acreditar neste
facto para podermos prosseguir com a nossa resolução.
Agora chegamos à primeira confusão sobre equações: Ambos os lados são
iguais “no valor” apenas, e não no aspecto que têm no ecrã ou no papel.
Isto é o mesmo que afirmar:
3 + 2 = 5
este lado é igual a este
Que é muito fácil de acreditar porque nós sabemos que 2 mais 3 dá 5, mesmo que 2 + 3 se escreva de maneira diferente que o número 5.
O sinal ‘=’ diz-nos que ambos os lados são iguais em valor e não em
aparência.
Resumindo, quando tivermos que resolver uma equação, começamos por
acreditar que o sinal de igual está a dizer-nos uma verdade absoluta: os
dois lados são iguais em valor.
A palavra ‘equação’ vem da palavra ‘igual’.
O objetivo principal é ter o 'x' isolado. Como se faz isso é o que vamos explicar agora:
- Vamos supor que nos dão a seguinte expressão: 3x
Bem, se o número 3 está a multiplicar por x … nós simplesmente dividimos por
3 para ficarmos com 3x/3.
Como 3 a dividir por 3 é igual a 1, nós ficamos apenas com 'x'.
- Segue-se outro exemplo: x + 7
O ‘x’ está a ser somado de 7 unidades, logo fazemos exactamente o oposto: subtraímos 7 unidades: x + 7- 7
Porque 7 – 7 é igual a zero, ambos os setes desaparecem. O ‘x’ está de novo isolado.
O que fizemos em todos os 2 casos foi simplesmente usar a operação inversa com os mesmos números que estavam perto da incógnita ‘x’.
Neste momento, já estamos habilitados a resolver a equação abaixo.
3x - 4 = 7 + 2x
‘Resolver’ quer dizer que temos que efectuar operações até encontrarmos o valor para o ‘x’ e este deixar de ser desconhecido.
Como já sabemos, o nosso principal objective é chegar a um estado tal em que o ‘x’ está sozinho no lado esquerdo do sinal de igual.
- Regra muito importante: Por serem IGUAIS ambos os lados de uma equação, qualquer operação que façamos num dos lados temos que a fazer também no outro lado.
Se tivermos '7x - 14 = 0', multiplicamos os dois lados por 14: '7x - 14 + 14 = 14' fazendo com que a equação fique assim '7x = 14'.
Você fará este processo até o 'x' ficar sozinho de um lado: '7x/7 = 14/7' que resultará em 'x = 2'.
A equação está resolvida !
Se substituirmos o ‘x’ por 2, o resultado em ambos os lados são IGUAIS.
Equação do 1º grau:
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)A equação geral do primeiro grau:
Ax + B = O
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
Ax = -B
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
x = -B/A
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Resumindo: - - - - -- Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)A equação geral do primeiro grau:
Ax + B = O
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
Ax = -B
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
x = -B/A
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Resumindo: - - - - -- Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Equação do 2º grau:
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.
- Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta:
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.
-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.
Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.
Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.
- Resolução de equações do 2° grau:
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.
- Fórmula Geral de Resolução:
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:
- Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta:
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.
-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.
Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.
Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.
- Resolução de equações do 2° grau:
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.
- Fórmula Geral de Resolução:
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.
O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:
O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:
- Discriminante da equação do 2° grau:
O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.
Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão
b² - 4ac, isto é: Δ = b² - 4ac.
O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.
Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão
b² - 4ac, isto é: Δ = b² - 4ac.
- Discriminante menor que zero:
- Discriminante igual a zero:
- Discriminante maior que zero:
Sistema de Equações do 1º grau:
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia…) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular.
- Método da adição:
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
Exemplo:
2x + y = 6
2x + 3y = 2
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
- Método da adição:
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
Exemplo:
2x + y = 6
2x + 3y = 2
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
- Método da substituição:
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
Exemplo:
2x + y = 6
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
Exemplo:
2x + y = 6
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }